如图①所示.直线L:y=mx+5m与x轴负半轴.y轴正半轴分别交于A.B两点．(1)当OA=OB时.求点A坐标及直线L的解析式,的条件下.如图②所示.设Q为AB延长线上一点.作直线OQ.过A.B两点分别作AM⊥OQ于M.BN⊥OQ于N.若AM=$\sqrt{17}$.求BN的长,(3)当m取不同的值时.点B在y轴正半轴上运动.分别以OB.AB为边.点B为直角顶点在第一.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

4．如图①所示，直线L：y=mx+5m与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点．

（1）当OA=OB时，求点A坐标及直线L的解析式；
（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=$\sqrt{17}$，求BN的长；
（3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③．
问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．

分析（1）当y=0时，x=-5；当x=0时，y=5m，得出A（-5，0），B（0，5m），由OA=OB，解得：m=1，即可得出直线L的解析式；
（2）由勾股定理得出OM的长，由AAS证明△AMO≌△ONB，得出BN=OM，即可求出BN的长；
（3）作EK⊥y轴于K点，由AAS证得△ABO≌△BEK，得出对应边相等OA=BK，EK=OB，得出EK=BF，再由AAS证明△PBF≌△PKE，得出PK=PB，即可得出结果．

解答解：（1）∵对于直线L：y=mx+5m，
当y=0时，x=-5，
当x=0时，y=5m，
∴A（-5，0），B（0，5m），
∵OA=OB，
∴5m=5，解得：m=1，
∴直线L的解析式为：y=x+5；
（2）∵OA=5，AM=$\sqrt{17}$，
∴由勾股定理得：OM=$\sqrt{O{A}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{{5^2}-{{（{\sqrt{17}}）}^2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
∵∠AOM+∠AOB+∠BON=180°，∠AOB=90°，
∴∠AOM+∠BON=90°，
∵∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠BON=∠OAM，
在△AMO和△OBN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BON=∠OAM}\\{∠AMO=∠BNO=90°}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AMO≌△ONB（AAS）
∴BN=OM=$2\sqrt{2}$；
（3）PB的长是定值，定值为$\frac{5}{2}$；理由如下：
作EK⊥y轴于K点，如图所示：
∵点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，
∴AB=BE，∠ABE=90°，BO=BF，∠OBF=90°，
∴∠ABO+∠EBK=90°，
∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠EBK=∠OAB，
在△ABO和△BEK中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EBK=∠OAB}\\{∠AOB=∠BKE=90°}\\{AB=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BEK（AAS），
∴OA=BK，EK=OB，
∴EK=BF，
在△PBF和△PKE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EKP=∠PBF=90°}\\{∠EPK=∠FPB}\\{EK=BF}\end{array}\right.$，
∴△PBF≌△PKE（AAS），
∴PK=PB，
∴PB=$\frac{1}{2}$BK=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$×5=$\frac{5}{2}$．

点评本题是一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结果．

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