Question

已知⊙O中，

AC

=

CE

．
（1）如图1，求证：CO⊥AE；
（2）如图2，CD⊥直径AB于D，若BD=1，AE=4，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）延长CO交AE于点D，再由垂径定理即可得出结论；
（2）连接CO并延长交AE于点F，由垂径定理可知OF⊥AE，根据全等三角形的判定定理得出△OAF≌△OCD，故可得出OF的长，根据勾股定理即可求出OA的长．

解答：（1）证明：延长CO交AE于点D，
∵

AC

=

CE

，CD过圆心，
∴CO⊥AE；

（2）设⊙O的半径为r，连接CO并延长交AE于点F，
∵

AC

=

CE

，CD过圆心，AE=4，
∴OF⊥AE，
∴AF=

1

2

AE=

1

2

×4=2，
∵CD⊥AB，∠AOF=∠COD，
∴在△OAF与△OCD中，
∵

∠FAO=∠OCD OA=OC ∠AOF=∠COD

，
∴△OAF≌△OCD，
∴OF=OD=r-1，
∴在Rt△AOF中，OA²=AF²+OF²，即r²=2²+（r-1）²，解得r=

5

2

．

点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．