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【题目】如图,已知抛物线y=x2﹣2x﹣3x轴交于AB两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,该抛物线顶点为D,对称轴交x轴于点H

1)求AB两点的坐标;

2)设点Px轴下方的抛物线上,当∠ABP=∠CDB时,求出点P的坐标;

3)以OB为边最第四象限内作等边△OBM.设点Ex轴的正半轴上一动点(OEOH),连接ME,把线段ME绕点M顺时针旋转60°MF,求线段DF的长的最小值.

【答案】1A﹣10),B30);(2P2﹣3);(3)线段DF的长的最小值存在,最小值是2+

【解析】试题分析:(1)令y=0,求得关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的解即为点AB的横坐标;

2)设Pxx2﹣2x﹣3),根据抛物线解析式求得点D的坐标为D1﹣4);结合坐标与图形的性质求得线段CD=CB=3BD=2;所以根据勾股定理的逆定理推知∠BCD=90°,则易推知相似三角形△BCD∽△PNB,由该相似三角形的对应边成比例来求x的值,易得点P的坐标;

3)正确做出等边△OBM和线段ME所对应的旋转线段MF,如图2.过点BF作直线交对称轴于点G.构建全等三角形:△EOM≌△FBM,由该全等三角形的性质和图形中相关角间的和差关系得到:

∠OBF=120°为定值,即BF所在直线为定直线.过D点作DK⊥BFK为垂足线段DF的长的最小值即为DK的长度.

解:(1)令y=0,得x2﹣2x﹣3=0

解得x1=﹣1x2=3

∴A﹣10),B30

2)设Pxx2﹣2x﹣3),

如图1,过点PPN⊥x轴,垂足为N

连接BP,设∠NBP=∠CDB

x=0,得y=x2﹣2x﹣3=﹣3

∴C0﹣3

∵y=x2﹣2x﹣3=x﹣12﹣4

∴D1﹣4).

由勾股定理,得CD=CB=3BD=2

∴BD2=BC2+CD2

∴∠BCD=90°

∵∠BCD=∠PNB=90°∠NBP=∠CDB

∴△BCD∽△PNB

=

=,即x2﹣5x+6=0

解得x1=2x2=3(不合题意,舍去).

x=2时,y=﹣3

∴P2﹣3);

3)正确做出等边△OBM和线段ME所对应的旋转线段MF,如图2

过点BF作直线交对称轴于点G

由题意可得:

∴△EOM≌△FBM

∴∠MBF=∠MOB=60°

∵∠OBF=∠OBM+∠MBF=60°+60°=120°为定值,

∴BF所在直线为定直线.

D点作DK⊥BFK为垂足.

Rt△BGH中,∠HBG=180°﹣120°=60°

∴∠HGB=30°

∵HB=3

∴BG=4HG=2

∵D1﹣4),

∴DH=4

∴DG=2+4

Rt△DGK中,∠DGK=30°

∴DK=DG=2+

当点E与点H重合时,这时BF=OH=1

GF=4+1=5

GK=DK=3+25,即点K在点F运动的路径上,

所以线段DF的长的最小值存在,最小值是2+

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