【题目】如图,已知抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,该抛物线顶点为D,对称轴交x轴于点H.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)设点P在x轴下方的抛物线上,当∠ABP=∠CDB时,求出点P的坐标;
(3)以OB为边最第四象限内作等边△OBM.设点E为x轴的正半轴上一动点(OE>OH),连接ME,把线段ME绕点M顺时针旋转60°得MF,求线段DF的长的最小值.
【答案】(1)A(﹣1,0),B(3,0);(2)P(2,﹣3);(3)线段DF的长的最小值存在,最小值是2+.
【解析】试题分析:(1)令y=0,求得关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的解即为点A、B的横坐标;
(2)设P(x,x2﹣2x﹣3),根据抛物线解析式求得点D的坐标为D(1,﹣4);结合坐标与图形的性质求得线段CD=,CB=3,BD=2;所以根据勾股定理的逆定理推知∠BCD=90°,则易推知相似三角形△BCD∽△PNB,由该相似三角形的对应边成比例来求x的值,易得点P的坐标;
(3)正确做出等边△OBM和线段ME所对应的旋转线段MF,如图2.过点B,F作直线交对称轴于点G.构建全等三角形:△EOM≌△FBM,由该全等三角形的性质和图形中相关角间的和差关系得到:
∠OBF=120°为定值,即BF所在直线为定直线.过D点作DK⊥BF,K为垂足线段DF的长的最小值即为DK的长度.
解:(1)令y=0,得x2﹣2x﹣3=0,
解得x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0)
(2)设P(x,x2﹣2x﹣3),
如图1,过点P作PN⊥x轴,垂足为N.
连接BP,设∠NBP=∠CDB.
令x=0,得y=x2﹣2x﹣3=﹣3,
∴C(0,﹣3)
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴D(1,﹣4).
由勾股定理,得CD=,CB=3,BD=2.
∴BD2=BC2+CD2,
∴∠BCD=90°.
∵∠BCD=∠PNB=90°,∠NBP=∠CDB.
∴△BCD∽△PNB.
∴=,
=,即x2﹣5x+6=0,
解得x1=2,x2=3(不合题意,舍去).
∴当x=2时,y=﹣3
∴P(2,﹣3);
(3)正确做出等边△OBM和线段ME所对应的旋转线段MF,如图2.
过点B,F作直线交对称轴于点G.
由题意可得:
,
∴△EOM≌△FBM,
∴∠MBF=∠MOB=60°.
∵∠OBF=∠OBM+∠MBF=60°+60°=120°为定值,
∴BF所在直线为定直线.
过D点作DK⊥BF,K为垂足.
在Rt△BGH中,∠HBG=180°﹣120°=60°,
∴∠HGB=30°.
∵HB=3,
∴BG=4,HG=2.
∵D(1,﹣4),
∴DH=4,
∴DG=2+4.
在Rt△DGK中,∠DGK=30°.
∴DK=DG=2+.
∵当点E与点H重合时,这时BF=OH=1,
则GF=4+1=5.
而GK=DK=3+2>5,即点K在点F运动的路径上,
所以线段DF的长的最小值存在,最小值是2+.
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【题目】某市统计部门公布的2016年6~10月份本市居民消费价格指数(CPI)的同比增长分别为2.3%,2.3%,2%,1.6%,1.6%,业内人士评论说:“这五个月的本市居民消费价格指数同比增长率之间相当平稳”,从统计角度看,“增长率之间相当平稳”反映的统计量是( )
A. 方差 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数
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【题目】以下现象:①传送带上,瓶装饮料的移动;②打气筒打气时,活塞的运动;③钟摆的摆动;④在荡秋千的小朋友.其中属于平移的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.
(1)若D为AC的中点,证明DE是⊙O的切线;
(2)若OA=,CE=1,求△ABC的面积.
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【题目】PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物,将0.0000025用科学记数法表示为( )
A.0.25×10-5 B.0.25×10-6 C.2.5×10-5 D.2.5×10-6
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