Question

20．已知：△ABC中，∠C=90°．
（1）如图1，若AC=4，BC=3，DE⊥AC，且DE=DB，求AD的长．
（2）如图2，请利用没有刻度的直尺和圆规，在线段AB上找一点F，使得点F到边AC的距离等于FB（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）

Answer 1

分析 （1）根据DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，进而得到$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，据此可得AD的长．
（2）作∠B的平分线BG，交AC于G，作BG的垂直平分线MN，交AB于F，则FG=FB，而FG∥BC，故FG⊥AC，即点F到边AC的距离等于FB．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵DE⊥AC，∠C=90°，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，
即$\frac{5-AD}{3}$=$\frac{AD}{5}$，
解得AD=$\frac{25}{8}$，
故AD的长为$\frac{25}{8}$．

（2）如图2所示，作∠B的平分线BG，交AC于G，作BG的垂直平分线MN，交AB于F，则点F即为所求．

点评 本题主要考查了复杂作图以及相似三角形的判定与性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．