Question

已知AB=2

3

，∠ABC=60°，D是线段AB上的动点，过D作DE⊥BC，垂足为E，四边形DEFG是正方形，点F在射线BC上，连接AG并延长交BC于点H．
（1）求DE的取值范围；
（2）当DE在什么范围取值时，△ABH为钝角三角形；
（3）过B、A、G三点的圆与BC相交于点K，过K作这个圆的切线KL与DG的延长线相交于点L．若GL=1，这时点K与点F重合吗？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）当D与B重合时，DE最小为0，当D与A重合时，DE最大，可根据AB和∠B的度数用正弦函数求出DE的最大值，即可得出DE的取值范围；
（2）要分两种情况进行讨论：
①当∠BAH是钝角时，此时DE的最小值就应该是∠BAH=90°时的值，DE的最大值就是（1）中求得的DE的最大值，当∠BAH=90°时，可用DE在直角三角形BDE和ADG中分别表示出AD，BD，然后根据AB的值求出DE的值，也就求出了∠BAH是钝角时，DE的取值范围；
②当∠AHB为钝角时，此时DE的最大值就应该是H与F重合时DE的值，参照上面的方法求出DE的值，也就求出了∠AHB是钝角时DE的取值范围，
然后结合（1）中DE的取值范围就能得出三角形ABH是钝角三角形时DE的范围；
（3）假设他们重合，此时四边形AGFB就是圆的内接四边形，那么外角∠GFC=∠=90°，这种情况和（2）中①求DE最小值时的情况完全一样，我们已经得出了此时DE，BE的值，那么就求出了BF，GF，DG的长，然后我们通过构建相似三角形来判断GL是否等于1，连接BG后我们发现弦切角∠LKG=∠GBK，因此三角形GKL与BFG相似，那么可得出BF、GF、GL的比例关系，根据求出的BF、GF的值即可求出GL的值，看看是否与已知的条件相符即可．

解答：解：（1）当点D与点A重合时，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠ABE=60°，AB=2

3

，
∴AE=DE=AB•sin∠ABE=2

3

•sin60°=2

3

×

3

2

=3，
当点D与B重合时，DE=0，
∴DE的取值范围是：0＜DE＜3；

（2）设BE=x，Rt△BDE中，
∵∠ABE=60°，则BD=2x，DE=

3

x，
分两种情况：
①若∠BAH=90°，如图1
在Rt△ADG中，∠ADG=∠ABE=60°，DG=DE=

3

x
∴AD=

3

2

x，又AB=AD+BD=2

3

，
∴2x+

3

2

x=2

3

，x=

16 3 -12

13

，
∴DE=

3

x=

48-12 3

13

，
即当

48-12 3

13

＜DE＜3时，△ABH为钝角三角形．
②若∠AHB=90°，如图2，此时点F与点H重合．
在Rt△ADG中，∠ADG=∠ABE=60°，DG=DE=

3

x，
∴AD=2

3

x，又AB=AD+BD=2

3

，
∴2x+2

3

x=2

3

∴x=

3- 3

2

，
∴DE=

3

x=

3 3 -3

2

，
则当0＜DE＜

3 3 -3

2

时，△ABH为钝角三角形．
综上，当

48-12 3

13

＜DE＜3或0＜DE＜

3 3 -3

2

时，△ABH为钝角三角形；

（3）当GL=1时，点K与点F不重合，理由如下：
解：当点K与点F重合时，如图3，
∵四边形ABKG内接于圆，
∴∠A+∠BKG=180°，
∵∠BKG=90°，
∴∠A=90°，
∴此时即为（2）中①的情形，仍然设BE=x，则DE=GK=EK=

3

x，
∴BK=BE+EK=x+

3

x=（

3

+1）x，
在（2）①中已求得：x=

16 3 -12

13

．
连接BG，∵KL切圆于点K，
∴∠1=∠2，
又∵∠KGL=∠BKG=90°，
∴△GKL∽△KBG，
∴

GL

GK

=

GK

BK

，
∴GL=

GK2

BK

=

( 3 x)2

( 3+1 )x

=

3 3 -3

2

x=

3 3 -3

2

﹒

16 3 -12

13

≠1，
∴当GL=1时，点K与点F不重合．

点评：本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，解直角三角形以及相似三角形的判断和性质等知识点，由于涉及的知识点较多，此题比较难．