Question

如图，已知正方形ABCD的边长是2，∠EAF=m°，将∠EAF绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、CD于点E、F，G是CB延长线上一点，且始终保持BG=DF．
（1）求证：△ABG≌△ADF；
（2）求证：AG⊥AF；
（3）当EF=BE+DF时，①求m的值；②若F是CD的中点，求BE的长．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,旋转的性质

专题：

分析：（1）在正方形ABCD中，AB=AD=BC=CD=2，∠BAD=∠C=∠D=∠ABC=∠ABG=90°．已知BG=DF，所以得出△ABG≌△ADF，
（2）由△ABG≌△ADF，得出∠GAB=∠FAD，从而得到∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=∠BAD=90°，得出结论AG⊥AF；
（3）①：由△ABG≌△ADF，AG=AF，BG=DF．得到EF=BE+DF，EF=BE+BG=EG．AE=AE，得出△AEG≌△AEF．所以∠EAG=∠EAF，∠EAF=

1

2

∠GAF=45°，即m=45；
②若F是CD的中点，则DF=CF=BG=1．设BE=x，则CE=2-x，EF=EG=1+x．在Rt△CEF中，利用勾股定理得出BE的长为

2

3

．

解答：
解：（1）证明：在正方形ABCD中，
AB=AD=BC=CD=2，
∠BAD=∠C=∠D=∠ABC=∠ABG=90°．
∵BG=DF，
在∴△ABG和△ADF

AB=AC ∠ABG=∠ADF BG=DF

∴△ABG≌△ADF（SAS）；
（2）证明：∵△ABG≌△ADF，
∴∠GAB=∠FAD，
∴∠GAF=∠GAB+∠BAF
=∠FAD+∠BAF=∠BAD=90°，
∴AG⊥AF；
（3）①解：△ABG≌△ADF，
∴AG=AF，BG=DF．
∵EF=BE+DF，
∴EF=BE+BG=EG．
∵AE=AE，
在△AEG和△AEF中．
∴

AG=AF EG=EF AE=AE

∴△AEG≌△AEF（SSS）．
∴∠EAG=∠EAF，
∴∠EAF=

1

2

∠GAF=45°，
即m=45；
②若F是CD的中点，则DF=CF=BG=1．
设BE=x，则CE=2-x，EF=EG=1+x．
在Rt△CEF中，CE ²+CF ²=EF ²，即（ 2-x ） ²+1 ²=（ 1+x ） ²，得x=

2

3

．
∴BE的长为

2

3

．

点评：本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及旋转的性质，解题的关键是根据三角形全等求出相等的角与边．