Question

如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=

3

．运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为（　　）

• A、

  3

  -1
• B、

  3

• C、2
• D、2-

  3

Answer 1

考点：勾股定理,三角形三边关系,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：取AB的中点，连接OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，过点A作AF⊥OD于F，利用∠ADE的余弦列式求出DF，从而得到点F是OD的中点，判断出AF垂直平分OD，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA=AD．

解答：解：如图，取AB的中点，连接OE、DE，
∵∠MON=90°，
∴OE=AE=

1

2

AB=

1

2

×2=1，
∵三边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=

3

，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE=

AD2+AE2

=

( 3 )2+12

=2，
由三角形的三边关系得，O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，
此时，OD=OE+DE=1+2=3，
过点A作AF⊥OD于F，则cos∠ADE=

AD

DE

=

DF

AD

，
即

3

2

=

DF

3

，
解得DF=

3

2

，
∵OD=3，
∴点F是OD的中点，
∴AF垂直平分OD，
∴OA=AD=

3

．
故选B．

点评：本题考查了勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，作辅助线并判断出OD最大时的情况是解题的关键，作出图形更形象直观．