Question

已知x₁，x₂是一元二次方程x²+

m

x+n=0的两个实数根，且x₁²+x₂²+（x₁+x₂）²=3，

2

x 2 1

+

2

x 2 2

=5，则m=

1

2

n=

-1

．

Answer 1

分析：由x₁，x₂是一元二次方程x²+

m

x+n=0的两个实数根，利用根与系数的关系表示出x₁+x₂与x₁x₂，且得到根的判别式大于等于0，得到m大于4n，将已知的两等式变形后代入得到关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值．

解答：解：∵x₁，x₂是一元二次方程x²+

m

x+n=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=-

m

，x₁x₂=n，b²-4ac=m-4n≥0，即m≥4n，
化简得：x₁²+x₂²+（x₁+x₂）²=2（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2m-2n=3①，

2

x 2 1

+

2

x 2 2

=

2(x1+x2)2-4x1x2

(x1x2)2

=

2m-4n

n2

=5②，
由①得：2m=2n+3③，
③代入②整理得：（5n-3）（n+1）=0，解得：n=

3

5

或-1，
当n=

3

5

时，m=

21

10

（不合题意，舍去）；当n=-1时，m=

1

2

，
则m=

1

2

，n=-1．
故答案为：

1

2

；-1

点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），当b²-4ac≥0时，方程有解，设两根分别为x₁，x₂，则有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．