Question

如图Rt△ABC中，∠C=90°，AC：CB=1：3，且E、D是CB的三等分点．求证：∠1+∠2=45°．

Answer 1

证明：设AC=x，则BC=3x；
∵E、D是CB的三等分点，
∴EC=DE=BD=AC=x；
∴△ACE是等腰直角三角形，即∠AEC=45°；
Rt△ACE中，AC=EC=x，则AE=x；
∴AE²=ED•EB=2x²；
又∵∠AED=∠BEA，
∴△AED∽△BEA；
∴∠EAD=∠1；
∵∠AEC=∠2+∠EAD=45°，
∴∠1+∠2=45°．
分析：根据已知条件易知AC=EC=BC，则∠CEA=∠2+∠EAD=45°，可通过证△AED∽△BEA，得∠1=∠EAD，从而求得本题所证的结论．
点评：此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，能够发现并证得△AED∽△BEA，从而得出∠1=∠EAD是解答此题的关键．