Question

如图，在△ABC中，∠BAC、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且（ab-1）²+（a-b）²=0．
（l）求证：AC=BC．
（2）作△ABC的角平分线AD，若AC+CD=AB，求S_△ABC．

Answer 1

分析：（1）根据非负数的性质可得a=b=1，从而得到AC=BC；
（2）在AB上截取AN=AC，连结DN．根据SAS可证△AND≌△ACD，再根据全等三角形的性质和三角形面积公式即可求解．

解答：（1）证明：∵（ab-1）²+（a-b）²=0，
∴ab-1=0，a-b=0，
∴a=b=1，
∴AC=BC．

（2）解：在AB上截取AN=AC，连结DN．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
在△AND与△ACD中，

AN=AC ∠1=∠2 AD=AD

∴△AND≌△ACD（SAS），
∴CD=DN，
∵AC+CD=AB，
∴AN+CD=AB，
∴BN=CD=DN．
设∠BAC=∠B=x=∠BDN，
则∠AND=2x=∠ACD，
∴x+x+2x=180゜，x=45゜，
∴∠ACB=90゜，
∴S△ABC=

1

2

×1×1=

1

2

．

点评：考查了非负数的性质：偶次方，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算，综合性较强，难度中等．