Question

如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=x²+bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于B，C两点，与x轴交于D，E两点，且D点坐标为（1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求线段BC的长及四边形BDEC的面积S；
（3）在坐标轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵把x=0代入y=x+1得：y=1，
∴B（0，1），
∵把B、D的坐标代入二次函数的解析式得：，
解得：b=-，c=1，
∴二次函数的解析式是y=x²-x+1．

（2）解方程组得：，，
∵B（0，1），
∴C（4，3），
把y=0代入y=x²-x+1得：x²-x+1=0，
解得：x₁=1，x₂=2，
即D（1，0），E（2，0），
∵由勾股定理得：BC==2，
过C作CN⊥x轴于N，
则CN=3，NE=4-2=2，OD=OB=1，
∴四边形BDEC的面积是S=S_梯形BONC-S_△BOD-S_△CNE=×（1+3）×4-×1×1-×2×3=4，
答：线段BC的长是2，四边形BDEC的面积S是4．

（3）存在P点，
理由是：①P在x轴上时，设P的坐标是（x，0），
∵B（0，1），C（4，3），
∴由勾股定理得：PB²=x²+1²，PC²=3²+（4-x）²，BC²=4²+（3-1）²=20，
∵P为直角顶点，
∴PC²+PB²=BC²，
∴x²+1^2₊3²+（4-x）²=20，
解得：x₁=1，x₂=3，
∴P（1，0）或（3，0）；
②P在y轴上时，设P的坐标是（0，y），
∵B（0，1），C（4，3），
∴由勾股定理得：PB²=（1-y）²，PC²=4²+（3-y）²，BC²=4²+（3-1）²=20，
∵P为直角顶点，
∴PC²+PB²=BC²，
∴（1-y）^2₊4²+（3-y）²=20，
解得：y₁=1，y₂=3，
∵B（0，1），
∴y₁=1（舍去），
∴P（0，3），
即存在P点，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形，P的坐标是（1，0）或（3，0）或（0，3）．
分析：（1）求出B的坐标，把B、D的坐标代入二次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）求出直线与二次函数的交点坐标，求出C的坐标，求出E的坐标，过C作CN⊥x轴于N，根据图象分别求出梯形BOEC、△BOD、△CNE的面积，即可求出答案；
（3）分为两种情况：①P在x轴上时，设P的坐标是（x，0），根据勾股定理求出PB²，PC²，BC²，根据PC²+PB²=BC²，求出x即可；②P在y轴上时，设P点的坐标是（0，y），根据PC²+PB²=BC²，得出方程（1-y）^2₊4²+（3-y）²=20，求出y即可．
点评：本题考查的知识点有用待定系数法求出二次函数的解析式，勾股定理，解一元二次方程，三角形的面积，主要考查学生综合运用这些性质进行计算和推理的能力，综合性比较强，有一定的难度．