Question

（2013•达州）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A₁，得∠A₁；∠A₁BC和∠A₁CD的平分线交于点A₂，得∠A₂；…∠A₂₀₁₂BC和∠A₂₀₁₂CD的平分线交于点A₂₀₁₃，则∠A₂₀₁₃=

m

22013

度．

Answer 1

分析：利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A₁=

1

2

∠A，进而可求∠A₁，由于∠A₁=

1

2

∠A，∠A₂=

1

2

∠A₁=

1

22

∠A，…，以此类推可知∠A₂₀₁₃=

1

22013

∠A=

m

22013

°．

解答：解：∵A₁B平分∠ABC，A₁C平分∠ACD，
∴∠A₁BC=

1

2

∠ABC，∠A₁CA=

1

2

∠ACD，
∵∠A₁CD=∠A1+∠A₁BC，
即

1

2

∠ACD=∠A₁+

1

2

∠ABC，
∴∠A₁=

1

2

（∠ACD-∠ABC），
∵∠A+∠ABC=∠ACD，
∴∠A=∠ACD-∠ABC，
∴∠A₁=

1

2

∠A，
∴∠A₁=

1

2

m°，
∵∠A₁=

1

2

∠A，∠A₂=

1

2

∠A₁=

1

22

∠A，
…
以此类推∠A₂₀₁₃=

1

22013

∠A=

m

22013

°．
故答案为：

m

22013

．

点评：本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A₁=

1

2

∠A，并能找出规律．