Question

如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DFA；
（2）若AD=5，AB=3，求：tan∠DEF的值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,矩形的性质,解直角三角形

专题：

分析：（1）根据矩形性质得出∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，求出∠DAF=∠AEB，AD=AE，∠AFD=∠B=90°，根据AAS证出三角形全等即可．
（2）根据全等三角形性质得出AB=DF=3，AE=AD=5，在Rt△AFD中，有勾股定理求出AF=4，求出EF=1，即可求出答案．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAF=∠AEB，
∵AE=BC，
∴AD=AE，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=∠B=90°，
在△ABE和△DFA中

∠AEB=∠DAF ∠B=∠AFD AE=AD

∴△ABE≌△DFA．

（2）解：∵△ABE≌△DFA，AD=5，AB=3，
∴AB=DF=3，AE=AD=5，
在Rt△AFD中，有勾股定理得：AF=

52-32

=4，
∴EF=5-4=1，
∴tan∠DEF=

DF

EF

=

3

1

=3．

点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．