Question

13．在正方形ABCD中，O是对角线的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB，BC于E，F，若AE=4，CF=3．
（1）求证：△BOE≌△COF；
（2）求EF的长和四边形OEBF的面积．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出OB=OC=OA=OD，∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，∠OBE=∠OCF=45°，证出∠BOE=∠COF，由ASA证明△BOE≌△COF即可；
（2）由全等三角形的性质得出BE=CF=3，同理△AOE≌△BOF，得出BF=AE=4，AB=7，由勾股定理求出EF；由全等三角形的性质得出四边形OEBF的面积=△AOB的面积=$\frac{1}{4}$正方形ABCD的面积，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC=OA=OD，∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，∠OBE=∠OCF=45°，AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BOE=∠COF}&{\;}\\{OB=OC}&{\;}\\{∠OBE=∠OCF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COF（ASA）；
（2）解：∵△BOE≌△COF，
∴BE=CF=3，
同理：△AOE≌△BOF，
∴BF=AE=4，
∴AB=AE+BE=7，EF=$\sqrt{B{E}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；
∵△BOE≌△COF，△AOE≌△BOF，
∴四边形OEBF的面积=△BOE的面积+△AOE的面积
=△AOB的面积=$\frac{1}{4}$正方形ABCD的面积
=$\frac{1}{4}$×7²=$\frac{49}{4}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．