Question

18．在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC，对角线AC被对角线BD平分，求证：这个四边形是平行四边形．

Answer 1

分析 设AC、BD交于点O，过的C作CE∥AB交BD于E，连接AE；先由ASA证明△AOB≌△COE，得出对应边相等OB=OE，再由SAS证明△AOE≌△COB，得出对应角相等∠AEO=∠CBO，证出∠ABC=∠AEC，得出∠ABC=∠ADC，D、E共点，即可得出结论．

解答 证明：设AC、BD交于点O，过的C作CE∥AB交BD于E，连接AE；如图所示：
∵CE∥AB，
∴∠BAC=∠ACE，∠ABE=∠BEC，
在△AOB和△COE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠ACE}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\\{∠AOB=∠COE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△COE（ASA），
∴OB=OE，
在△AOE和△COB中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}&{\;}\\{∠AOE=∠COB}&{\;}\\{OE=OB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COB（SAS），
∴∠AEO=∠CBO，
∴∠ABC=∠AEC，
∵∠ABC=∠ADC，
∴D、E共点，
∴OB=OD，
又∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定方法、平行线的性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．