Question

20．已知抛物线y=x²-2mx+m²+m+2与x轴的交点为（a，0），（b，0），则（a-1）²+（b-1）²的最小值是（　　）

• A． 10
• B． 15
• C． 18
• D． 20

Answer 1

分析 根据抛物线y=x²-2mx+m²+m+2与x轴的交点为（a，0），（b，0），可以求得a+b的值与ab的值，以及△≥0，从而可以求得（a-1）²+（b-1）²的最小值．

解答 解：∵抛物线y=x²-2mx+m²+m+2与x轴的交点为（a，0），（b，0），
∴x²-2mx+m²+m+2=0的两个根为：x₁=a，x₂=b，△=（-2m）²-4×1×（m²+m+2）≥0
∴a+b=$-\frac{-2m}{1}=2m$，ab=m²+m+2，m≤-2，
∴（a-1）²+（b-1）²
=a²-2a+1+b²-2b+1
=（a²+b²）-2（a+b）+2
=（a+b）²-2ab-2（a+b）+2
=（2m）²-2（m²+m+2）-2×2m+2
=4m²-2m²-2m-4-4m+2
=2m²-6m-2
=2$（m-\frac{3}{2}）^{2}-\frac{13}{2}$
∵2＞0，
∴2$（m-\frac{3}{2}）^{2}-\frac{13}{2}$在m＜$\frac{3}{2}$时随着m的增大而减小，
又∵m≤-2，
∴m=-2时，2$（m-\frac{3}{2}）^{2}-\frac{13}{2}$取得最小值，最小值为：18，
故选C

点评 本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是明确两根之和与两根之积以及抛物线与x轴有交点说明△＞0．