【题目】如图，
为菱形
对角线的交点，
是射线
上的一个动点（点与点
，，
都不重合），过点，分别向直线
作垂线段，垂足分别为
，
，连接
，
．
（1）①当点在线段上时，在图1中依据题意补全图形：
②猜想与的数量关系为 ．
（2）小东通过观察、实验发现点在线段的延长线上运动时，（1）中的猜想始终成立．
小东把这个发现与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明此猜想的几种想法：
想法1：由已知条件和菱形对角线互相平分，可以构造与
全等的三角形，从而得到相等的钱段，再依据直角三角形斜边中线的性质，即可证明猜想；
想法2：由已知条件和菱形对角线互相垂直，能找到两组共斜边的直角三角形，例如其中的一组
和
，再依据直角三角形斜边中线的性质，菱形四条边相等，可以构造一对以和
为对应边的全等三角形，即可证明猜想．
…
请你参考上面的想法，在图2中帮助小东完成画图，并证明此猜想（一种方法即可）．
（3）当
时，请直接写出线段
，
，
之间的数量关系是 ．
【答案】（1）①见解析，②OE=OF；（2）见解析；（3）EF=CF+AE．
【解析】
（1）①由题意直接补全图形即可；②取线段AB，BC的中点P，Q，连接OP，PE，OQ，QF，由菱形的性质得出AB=BC，AC⊥BD，由P，Q是AB，BC的中点，得出OP=PB=
AB，OQ=QB=BC，则OP=OQ，同理，PE=QF，证得∠OPE=2∠OBE，∠OQF=2∠OCF，再证得∠OBE=∠OCF，得出∠OPE=∠OQF，由SAS证得△OPE≌△OQF，即可得出结论；
（2）想法1、先判断出△AOE≌△CON，再利用直角三角形的性质即可得出结论；
（3）先判断出四边形OPBQ是菱形，再判断出∠EOF=∠POQ=90°，再借助等腰直角三角形的性质即可得出结论．
解：（1）①补全的图形如图1所示：
②OE=OF；理由如下：
取线段AB，BC的中点P，Q，连接OP，PE，OQ，QF，
如图1-1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD，
∵P，Q是AB，BC的中点，
∴OP=PB=AB，OQ=QB=BC，
∴OP=OQ，
同理，PE=QF，
∵OP=PB，PE=PB，
∴∠OPA=2∠OBA，∠EPA=2∠EBA，
∴∠OPA-∠EPA=2∠OBA-2∠EBA，即∠OPE=2∠OBE，
同理，∠OQF=2∠OCF，
∵AC⊥BD，CF⊥BM，
∴∠OBE+∠OMB=∠OCF+∠OMB=90°．
∴∠OBE=∠OCF，
∴∠OPE=∠OQF，
在△OPE和△OQF中，
，
∴△OPE≌△OQF（SAS），
∴OE=OF；
故答案为：OE=OF；
（2）想法1：
证明：延长EO交FC的延长线于点N，如图2所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，
∵AE⊥BM，CF⊥BM，
∴AE∥CF，
∴∠AEO=∠CNO，
在△AOE和△CON中，
，
∴△AOE≌△CON（ASA），
∴OE=ON=EN，
∵Rt△EFN中，O是斜边EN的中点，
∴OF=EN，
∴OE=OF；
（3）如图3所示：
由（2）想法1，得出△AOE≌△CON，
∴AE=CN，OE=ON，
由（2）知，OE=OF，∴OF=ON，
∵四边形ABCD是菱形，
由（2）知，OP=BP=OQ=BQ．
∴四边形OPBQ是菱形，
∴∠POQ=90°
由（2）想法2，得出△OPE≌△OQF，
∴∠POE=∠QOF，
∴∠EOF=∠POQ=90°，
∴∠FEN=45°，
在Rt△EFN中，∠FEN=45°，
∴EF=FN=CF+CN=CF+AE．
故答案为：EF=CF+AE．
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【题目】如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=12，BC=8，则AF=________．
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【题目】如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为BC的中点．
（1）求证：△ABC为等边三角形；
（2）求DE的长；
（3）在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．
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【题目】如图1，已知直线
，点
，
在直线
上，点
，
在直线
上，且AB//CD，若
保持不动，线段
先向右匀速平行移动，中间停止一段时间后再向左匀速平行移动．图2反映了
的长度
随时间
的变化而变化的情况，则
（1）在线段开始平移之前，
_______
；
（2）线段边向右平移了_______
，向右平移的速度是______
；
（3）图3反映了变化过程中
的面积
随时间变化的情况．
①平行线，之间的距离为_______；
②当
时，面积S的值为_____
；
③当
时，直接写出
关于的函数关系式______(可以不化简)．
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【题目】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何?译文是：今有门不知其高、宽，有竿，不知其长、短，横放，竿比门宽长出
尺；竖放，竿比门高长出
尺；斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽、对角线长分别是多少?若设门对角线长为
尺，则可列方程为__________．
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【题目】用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径．
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【题目】如图，在
中，
，
，以
为圆心，任意长为半径画弧分别交
、
于点
和
，再分别以、为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧交于点
，连结
并延长交
于点
，则下列说法中正确的个数是（ ）
①
是
的平分线；②
；③点在的垂直平分线上；④
A.1B.2C.3D.4
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【题目】已知二次函数y=x2－3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2－3x+m=0的两实数根是（ ）
A. x1=1，x2=－1 B. x1=1，x2=2 C. x1=1，x2=0 D. x1=1，x2=3
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【题目】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝8，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t＝__________秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
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