Question

14．△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=180mm，高AD=120mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？
（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？

Answer 1

分析 （1）设出边长为xmm，由正方形的性质得出PN∥BC，PQ∥AD，根据平行线的性质，可以得出比例关系式，$\frac{PQ}{AD}$=$\frac{BP}{AB}$、$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，代入数据求解即可．
（2）设宽为xmm，则长为2xmm，同（1）列出比例关系求解，但是要注意有两种情况，PQ可以为长也可以为宽，分两种情况分别求解即可．

解答 解：（1）设边长为xmm，
∵矩形为正方形，
∴PN∥BC，PQ∥AD，
根据平行线的性质可以得出：$\frac{PQ}{AD}$=$\frac{BP}{AB}$、$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，
由题意知PQ=x，BC=180mm，AD=120mm，PN=x，
即$\frac{x}{120}$=$\frac{BP}{AB}$，$\frac{x}{180}$=$\frac{AP}{AB}$，
∵AP+BP=AB，
∴$\frac{x}{120}$+$\frac{x}{180}$=$\frac{BP}{AB}$+$\frac{AP}{AB}$=1，
解得x=72．
答：若这个矩形是正方形，那么边长是72mm．

（2）设边宽为xmm，则长为2xmm，
∵四边形PNMQ为矩形，
∴PN∥BC，PQ∥AD，
根据平行线的性质可以得出：$\frac{PQ}{AD}$=$\frac{BP}{AB}$、$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，
①PQ为长，PN为宽：
由题意知PQ=2xmm，AD=120mm，BC=180mm，AN=xmm，
即$\frac{2x}{120}$=$\frac{BP}{AB}$，$\frac{x}{180}$=$\frac{AP}{AB}$，
∵AP+BP=AB，
∴$\frac{2x}{120}$+$\frac{x}{180}$=$\frac{BP}{AB}$+$\frac{AP}{AB}$=1，
解得x=45，2x=90．
即长为90mm，宽为45mm．
②PQ为宽，PN为长：
由题意知PQ=xmm，AD=120mm，BC=180mm，PN=2xmm，
即$\frac{x}{120}$=$\frac{BP}{AB}$，$\frac{2x}{180}$=$\frac{AP}{AB}$，
∵AP+BP=AB，
∴$\frac{x}{120}$+$\frac{2x}{180}$=$\frac{BP}{AB}$+$\frac{AP}{AB}$=1，
解得x=$\frac{360}{7}$，2x=$\frac{720}{7}$．
即长为$\frac{720}{7}$mm，宽为$\frac{360}{7}$mm．
答：矩形的长为90mm，宽是45mm或者长为$\frac{720}{7}$mm，宽为$\frac{360}{7}$mm．

点评 本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比，熟记性质并列出比例式是解题的关键．