Question

14．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．
（1）说明：∠O=∠BEO+∠DFO．
（2）如图2，如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足怎样的关系，证明你的结论．
（3）若将折线继续折下去，折三次，折四次…折n次，又会得到怎样的结论？（不需证明）

Answer 1

分析 （1）O作OM∥AB，根据AB∥CD可知AB∥OM∥CD，故∠BEO=∠MOE，∠DFO=∠MOF，由此可得出结论；
（2）过O作OM∥AB，PN∥AB，根据AB∥CD，可知AB∥OM∥PN∥CD，故∠BEO=∠EOM，∠PFC=∠NPF，∠MOP=∠NPO，由此可得出结论；
（3）根据（1）、（2）的过程可直接得出结论．

解答 （1）证明：如图1，过O作OM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OM∥CD，
∴∠BEO=∠MOE，∠DFO=∠MOF，
∴∠BEO+∠DFO=∠EOM+∠FOM，
即∠EOF=∠BEO+∠DFO．

（2）满足的关系式是：∠BEO+∠P=∠O+∠PFC，
解：过O作OM∥AB，PN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OM∥PN∥CD，
∴∠BEO=∠EOM，∠PFC=∠NPF，∠MOP=∠NPO，
∴∠EOP-∠OPF=（∠EOM+∠MOP）-（∠OPN+∠NPF）=∠EOM-∠NPF，
∠BEO-∠PFC=∠EOM-∠NPF，
∴∠BEO-∠PFC=∠EOP-∠OPF，
∴∠BEO+OPF=∠EOP+∠PFC．

（3）解：由（1）、（2）可知，如果两平行线间存在一条折线，则所有同向角的和相等．
或者：向左凸出的角的和等于向右面凸出的角的和．

点评 本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．