Question

【题目】如图，四边形ABCD为矩形，C点在轴上，A点在轴上，D(0，0)，B(3，4)，矩形ABCD沿直线EF折叠，点B落在AD边上的G处，E、F分别在BC、AB边上且F(1，4)．

(1)求G点坐标

(2)求直线EF解析式

(3)点N在坐标轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）G（0，4-）；（2）；（3）.

【解析】

1（1）由F（1，4），B（3，4），得出AF=1，BF=2，根据折叠的性质得到GF=BF=2，在Rt△AGF中，利用勾股定理求出 ，那么OG=OA-AG=4-，于是G（0，4-）；

（2）先在Rt△AGF中，由 ，得出∠AFG=60°，再由折叠的性质得出∠GFE=∠BFE=60°，解Rt△BFE，求出BE=BF tan60°=2，那么CE=4-2，E（3，4-2）.设直线EF的表达式为y=kx+b，将E（3，4-2），F（1，4）代入，利用待定系数法即可求出直线EF的解析.（3）因为M、N均为动点，只有F、G已经确定，所以可从此入手，结合图形，按照FG为一边，N点在x轴上；FG为一边，N点在y轴上；FG为对角线的思路，顺序探究可能的平行四边形的形状.确定平行四边形的位置与形状之后，利用平行四边形及平移的性质求得M点的坐标.

解：（1）∵F（1，4），B（3，4），

∴AF=1，BF=2，

由折叠的性质得：GF=BF=2，

在Rt△AGF中，由勾股定理得，

∵B（3，4），

∴OA=4，

∴OG=4-，

∴G（0，4-）；

（2）在Rt△AGF中，

∵ ，

∴∠AFG=60°，由折叠的性质得知：∠GFE=∠BFE=60°，

在Rt△BFE中，

∵BE=BFtan60°=2，

.CE=4-2，

.E（3，4-2）.

设直线EF的表达式为y=kx+b，

∵E（3，4-2），F（1，4），

∴ 解得

∴ ；

（3）若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则分如下四种情况：

①FG为平行四边形的一边，N点在x轴上，GFMN为平行四边形，如图1所示.

过点G作EF的平行线，交x轴于点N1，再过点N：作GF的平行线，交EF于点M，得平行四边形GFM1N1.

∵GN1∥EF，直线EF的解析式为

∴直线GN1的解析式为，

当y=0时， .

∵GFM1N1是平行四边形，且G（0，4-），F（1，4），N1（ ，0），

∴M，（ ，）；

②FG为平行四边形的一边，N点在x轴上，GFNM为平行四边形，如图2所示.

∵GFN2M2为平行四边形，

∴GN与FM2互相平分.

∴G（0，4-），N2点纵坐标为0

∴GN：中点的纵坐标为 ，

设GN中点的坐标为（x，）.

∵GN2中点与FM2中点重合，

∴

∴x=

∵.GN2的中点的坐标为（），

.∴N2点的坐标为（，0）.

∵GFN2M2为平行四边形，且G（0，4-），F（1，4），N2（，0），

∴M2（）；

③FG为平行四边形的一边，N点在y轴上，GFNM为平行四边形，如图3所示.

∵GFN3M3为平行四边形，.

∴GN3与FM3互相平分.

∵G（0，4-），N2点横坐标为0，

.∴GN3中点的横坐标为0，

∴F与M3的横坐标互为相反数，

∴M3的横坐标为-1，

当x=-1时，y=，

∴M3（-1，4+2）；

④FG为平行四边形的对角线，GMFN为平行四边形，如图4所示.

过点G作EF的平行线，交x轴于点N4，连结N4与GF的中点并延长，交EF于点M。，得平行四边形GM4FN4

∵G（0，4-），F（1，4），

∴FG中点坐标为（），

∵M4N4的中点与FG的中点重合，且N4的纵坐标为0，

.∴M4的纵坐标为8-.

5-45解方程 ，得

∴M4（）.

综上所述，直线EF上存在点M，使以M，N，F，G为顶点的四边形是平行四边形，此时M点坐标为： 。