Question

19．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交于BC点M，MN⊥AC于点N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=120°，AB=2，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）先判定OM⊥MN，再说明点M在圆上即可，
（2）圆中阴影部分面积的计算，用割补法求解．

解答 证明：（1）如图，

连接OM． 
∵OM=OB，
∴∠B=∠OMB． 
∵AB=AC，
∴∠B=∠C． 
∴∠OMB=∠C． 
∴OM∥AC． 
∵MN⊥AC，
∴OM⊥MN． 
∵点M在⊙O上，
∴MN是⊙O的切线． 
（2）如图，

连接AM． 
∵AB为直径，点M在⊙O上，
∴∠AMB=90°． 
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°． 
∴∠AOM=60°． 
又∵在Rt△AMC中，MN⊥AC于点N，
∴∠AMN=30°． 
∴AN=AM•sin∠AMN=AC•sin30°•sin30°=$\frac{1}{2}$
∴MN=AM•cos∠AMN=AC•sin30°•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴S _梯形ANMO=$\frac{（AN+OM）MN}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{3}$，
S _扇形OAM=$\frac{60π×1}{360}$=$\frac{π}{6}$，
∴S _阴影=$\frac{9\sqrt{3}-4π}{24}$．

点评 此题是切线的判定题，主要考查了切线的判定定理，用割补法求阴影部分的面积，解本题的关键是阴影部分面积的计算．