Question

19．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．
（1）若BE=CF，求证：AD是△ABC的角平分线．
（2）若AD是△ABC的角平分线，求证：BE=CF．

Answer 1

分析 （1）首先可证明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），再根据三角形角平分线的逆定理求得AD是△ABC的角平分线即可；
（2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．

解答 证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE△DCF是直角三角形．
在Rt△BDE与Rt△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DC}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线；

（2）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，
∵AD是BC边的中线，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DC}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF．

点评 此题主要考查了角平分线的性质与判定，直角三角形全等的判定．要证边相等，想办法证明边所在的三角形全等，是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．