Question

19．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，经过点B的直线l（l不与直线AB重合）与直线BC的夹角等于∠ABC，分别过点C、点A作直线l的垂线，垂足分别为点D、点E．
（1）如图1，当点E与点B重合时，若AE=4，判断以C点为圆心CD长为半径的圆C与直线AB的位置关系并说明理由；
（2）如图2，当点E在DB延长线上时，求证：AE=2CD；
（3）记直线CE与直线AB相交于点F，若$\frac{CF}{EF}=\frac{5}{6}$，CD=4，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）过点C作CF⊥AB，垂足为点F，求出∠ABC=∠CBD=45°，解直角三角形求出CF=2，BC=$2\sqrt{2}$，求出CD=CF=2，即可得出答案；
（2）延长AC交直线l于点G，求出AC=GC，根据平行线分线段成比例定理得出$\frac{CD}{AE}=\frac{GC}{GA}=\frac{1}{2}$，即可得出答案；
（3）（I）如图3，当点E在DB延长线上时：过点C作CG∥l交AB于点H，交AE于点G，求出CH=AH=BH，根据平行线分线段成比例定理得出$\frac{CH}{BE}=\frac{CF}{EF}=\frac{5}{6}$．设CH=5x，则BE=6x，AB=10x，求出AE=8x，由（2）知AE=2CD=8求出x=1，即可得出CH=5，BE=6，AB=10，求出DE=CG=8，即可求出BD；
（II）当点E在DB上时：同理可得CH=5，BE=6，HG=3，即可求出BD．

解答 解：（1）以C点为圆心CD长为半径的圆C与直线AB的位置关系是相切，
理由是：过点C作CF⊥AB，垂足为点F，
∵∠AED=90°，∠ABC=∠CBD，
∴∠ABC=∠CBD=45°，
∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，AE=4，
∴CF=2，BC=$2\sqrt{2}$，
又∵∠CBD=∠ABC=45°，CD⊥l，
∴CD=2，
∴CD=CF=2，
∴圆C与直线AB相切；

（2）证明：延长AC交直线l于点G，
∵∠ACB=90°，∠ABC=∠GBC，
∴∠BAC=∠BGC．
∴AB=GB，
∴AC=GC，
∵AE⊥l，CD⊥l，
∴AE∥CD．
∴$\frac{CD}{AE}=\frac{GC}{GA}=\frac{1}{2}$，
∴AE=2CD；
（3）解：分为两种情况：（I）如图3，当点E在DB延长线上时：
过点C作CG∥l交AB于点H，交AE于点G，则∠CBD=∠HCB，
∵∠ABC=∠CBD，
∴∠ABC=∠HCB，
∴CH=BH，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=∠HCB+∠HCA=90°，
∴∠BAC=∠HCA，
∴CH=AH=BH，
∵CG∥l，
∴$\frac{CH}{BE}=\frac{CF}{EF}=\frac{5}{6}$．
设CH=5x，则BE=6x，AB=10x．
在Rt△ABE中，$AE=\sqrt{A{B^2}-B{E^2}}=8x$．
由（2）知AE=2CD=8，
∴8x=8，得x=1．
∴CH=5，BE=6，AB=10．
∵CG∥l，
∴$\frac{HG}{BE}=\frac{AH}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴HG=3，
∴CG=CH+HG=8，
∵四边形CDEG是矩形，
∴DE=CG=8．
∴BD=DE-BE=2；
（II）如图4，当点E在DB上时：
同理可得CH=5，BE=6，HG=3，
∴DE=CG=CH-HG=2，
∴BD=DE+BE=8，
综上所述，BD的长为2或8．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，直线和圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．