Question

6．过正方形ABCD的顶点A任作一条直线l（l不过点B，C，D），过点B，C，D作l的垂线段BF，CG，DH．
（1）如图1，若直线l过线段BC的中点E，则BF：CG：DH=1：1：2．
（2）如图2，若直线l与线段BC相交于点E，则BF，CG，DH满足等量关系式DH=BF+CG，请证明你的猜想；
（3）如果直线l与线段CB的延长线相交，直接写出BF，CG，DH满足的等量关系式BF=DH+CG，在直线l旋转一周的过程中（l不过点B，C，D），直接写出y=$\frac{BF+CG+DH}{BD}$的取值范围1＜y≤2．

Answer 1

分析 （1）如图1所示：设AB=2a，根据题意得：BE=a，由勾股定理可求得AE=$\sqrt{5}$a，由面积法可求得BF和HD的长度，然后再证明△BFE≌△CGE，得到BF=CG，从而可求得答案；
（2）如图2所示：先根据同角的余角相等，证明∠ADH=∠FBE=∠GCE，由锐角三角函数的定义可得到$\frac{DH}{AD}=\frac{BF}{BE}=\frac{CG}{EC}$，然后利用比例的性质对比例式进行变形可证得：$\frac{DH}{AD}=\frac{BF+CG}{BC}$，由AD=BC，于是可得到DH=BF+CG；
（3）如图3所示：先证明∠ABF=∠HDE=∠GCE，由锐角三角函数的定义可得到$\frac{BF}{AB}=\frac{HD}{DE}=\frac{CG}{EC}$，然后利用比例的性质对比例式进行变形可证得$\frac{BF}{AB}=\frac{DH+CG}{DC}$，由AB=DC于是得到BF=DH+CG；如图4、5所示可求得BF+CG+DH的最大值为2BD，最小值为BD，从而可求得y的范围．

解答 解：（1）如图1所示：连接ED．

设AB=2a，根据题意得：BE=a．
在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}=\sqrt{5}a$，
∵$\frac{1}{2}AB•BE=\frac{1}{2}AE•BF$，即：$\frac{1}{2}×2a×2=\frac{1}{2}×\sqrt{5}a×BF$，
∴BF=$\frac{2\sqrt{5}a}{5}$．
在△BFE和△CGE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFE=∠CGE}\\{∠FEB=∠GCE}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△BFE≌△CGE．
∴BF=CG．
∵$\frac{1}{2}AD•AB=\frac{1}{2}AE•DH$，即$\frac{1}{2}×2a×2a=\frac{1}{2}×\sqrt{5}a×DH$，
∴HD=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∴BF：CG：DH=1：1：2．
（2）DH=BF+CG．
理由：如图2所示：

∵∠ADH+∠DAH=90°，∠BAH+∠DAH=90°，
∴∠ADH=∠BAH．
同理∠FBE=∠BAH．
∴∠ADH=∠FBE．
∵BF⊥AE，GC⊥AE，
∴BF∥GC．
∴∠FBE=∠GCE．
∴∠ADH=∠FBE=∠GCE．
∴$\frac{DH}{AD}=\frac{BF}{BE}=\frac{CG}{EC}$．
由$\frac{BF}{BE}=\frac{CG}{EC}$可知：$\frac{BF}{CG}=\frac{BE}{EC}$，
∴$\frac{BF+CG}{CG}=\frac{BE+EC}{EC}$，即$\frac{BF+CG}{CG}=\frac{BC}{EC}$．
∴$\frac{CG}{EC}=\frac{BF+CG}{BC}$．
∴$\frac{DH}{AD}=\frac{BF+CG}{BC}$．
∵AD=BC，
∴DH=BF+CG．
（3）BF=DH+CG．
理由：如图3所示：

根据题意可知：∠ABF=∠HDE=∠GCE．
∴$\frac{BF}{AB}=\frac{HD}{DE}=\frac{CG}{EC}$．
∴$\frac{DH}{CG}=\frac{DE}{EC}$．
∴$\frac{DH+CG}{CG}=\frac{DE+EC}{EC}$，即$\frac{DH+CG}{CG}=\frac{DC}{EC}$．
∴$\frac{DH+CG}{DC}=\frac{CG}{EC}$．
∴$\frac{BF}{AB}=\frac{DH+CG}{DC}$．
∵AB=DC，
∴BF=DH+CG．
如图4所示：

当直线经过点C时，BF+DH+CG有最小值，最小值=BD，
∴y=1．
如图5所示：

BF+DH+CG有最大值，最小值=2AC=2BD，
∴y=2．
∵直线l不经过点B、C、D，
∴y的取值范围是：1＜y≤2．

点评 本题主要考查的是正方形的性质、锐角三角函数的定义、比例的性质、全等三角形的性质和判定，利用比例的性质对比例式进行适当的变形是解题的关键．