Question

17．如图，AB是⊙O的直径，BD是弦，C是弧BD的中点，弦CE⊥AB，H是垂足，BD交CE，CA于点F，G．
（1）求证：CF=BF=GF；
（2）若CD=6，AC=8，求圆O的半径和BD长．

Answer 1

分析 （1）根据C是弧BD的中点，可以确定∠A=∠DBC；再根据AB是⊙O的直径，可知∠ACB=90°；据此即可确定∠A=∠DBC，即∠ECB=∠DBC，根据等角对等边得出CF=BF，然后根据∠DBC+∠CGB=90°，∠ECB+∠GCF=90°得出∠CGB=∠GCF，即可得出结论；
（2）根据C是弧BD的中点，得出BC=CD=6，根据勾股定理即可求得半径，根据垂径定理得出OC垂直平分BD，设OG=x，则CG=5-x，根据勾股定理得出5²-x²=6²-（5-x）²，求得OG，然后根据勾股定理求得BG，进而求得BD．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠A=∠ECB，
∵C是弧BD的中点，
∴∠A=∠DBC，
∴∠ECB=∠DBC，
∴CF=BF，
∵∠DBC+∠CGB=90°，∠ECB+∠GCF=90°，
∴∠CGB=∠GCF，
∴CF=GF，
∴CF=BF=GF；
（2）解：∵C是弧BD的中点，
∴BC=CD=6，
∵AC=8，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=10，
∴圆O的半径是5，
∵$\widehat{DC}$=$\widehat{BC}$，
∴OC垂直平分BD，
设OG=x，则CG=5-x，
∵BG²=OB²-OG²=BC²-CG²，
∴5²-x²=6²-（5-x）²，
解得x=1.4，
∴OG=1.4，
∴BG=$\sqrt{O{B}^{2}-O{G}^{2}}$=4.8，
∴BD=2BG=9.6．

点评 本题是综合考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及等腰三角形的判定等；熟练掌握这些定理是解题的关键．