Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC切于点D，直线ED交BC的延长线于F．
（1）求证：BC=FC；
（2）若AD：AE=2：1，求cot∠F的值．

Answer 1

（1）证明：连接BD．
∵BE是直径，
∴∠BDE=90°，
∴∠EBD=90°-∠BED．
∵∠EBF=90°
∴∠F=90°-∠BEF．
∴∠F=∠EBD．
∵⊙O切AC于D，
∴∠EBD=∠ADE=∠CDF．
∴∠F=∠CDF．
∴CD=CF，
∵OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线，
由切线长定理可知：CD=CB．
∴BC=FC．

（2）解：在△ADE和△ABD中，
∵∠A=∠A，∠ADE=∠ABD，
∴△ADE∽△ABD．
∴，
∵AD：AE=2：1．
∴BD：DE=2：1，
又∵∠F=∠EBD．
∴cot∠F=cot∠EBD==2．
分析：（1）首先连接BD，由等角的余角相等，易证得∠F=∠EBD．由弦切角定理，易证得∠F=∠CDF．可得CD=CF，又由切线长定理，可得CD=CB，继而可证得BC=FC；
（2）易证得△ADE∽△ABD，然后由相似三角形的对应边成比例，可求得BD：DE=2：1，又由∠F=∠EBD．可求得cot∠F=cot∠EBD==2．
点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、弦切角定理、切线长定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．