Question

8．已知△ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，OD=OE，∠ABC=70°，则∠A=60°．

Answer 1

分析 根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再根据角平分线的性质求出∠OBC+∠OCB$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可求出∠BOC=∠EOD=90°+$\frac{1}{2}∠$A；连接OA，作OF⊥AB于点F，OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OF=OG=OH，利用“HL”证明△EOF和△DOG全等，得出∠EOF=∠DOG，即可证得∠FOG=∠EOD，由∠A+∠FOG=180°，得出∠A+∠EOD=180°，从而得出∠A+90°+$\frac{1}{2}∠$A=180°，解得∠A=60°．

解答 解：∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵△ABC的两条角平分线BD、CE交于O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}∠$A，
∴∠EOD=90°+$\frac{1}{2}∠$A，
连接OA，作OF⊥AB于点F，OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，
∵△ABC的两条角平分线BD、CE交于O，
∴OF=OG=OH，
在RT△EOF和RT△DOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{OF=OG}\\{OE=OD}\end{array}\right.$
∴△EOF≌△DOG（HL），
∴∠EOF=∠DOG，
∴∠FOG=∠EOD，
∵OF⊥AB，OG⊥AC，
∴∠A+∠FOG=180°，
∴∠A+∠EOD=180°，
∴∠A+90°+$\frac{1}{2}∠$A=180°，
∴∠A=60°．
故答案为60°．

点评 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线，推出∠A+∠EOD=180°，从而得到∠A+90°+$\frac{1}{2}∠$A=180°是关键，也是解决本题的难点．