Question

18．己知：如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在边AD、AB，∠DCM=∠BCN，CN与BD交于点E．
（1）求证：DM=BN；
（2）当四边形MNBE是平行四边形时，求证：$\frac{DM}{MA}$=$\frac{DC}{DM}$．

Answer 1

分析 （1）在菱形ABCD中，根据菱形的性质得到CD=BC，∠CDM=∠CBN，推出△CDM≌△CBN，于是得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到ME∥AB，由平行线分线段成比例得到$\frac{DM}{AM}=\frac{DE}{EB}$，由△CDE∽△NBE，得到$\frac{DE}{BE}$=$\frac{CD}{BN}$，等量代换即可得到结论．

解答 （1）证明：在菱形ABCD中，
∵CD=BC，∠CDM=∠CBN，
在△CDM与△CBN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CDM=∠CBN}\\{CD=CB}\\{∠DCM=∠BCN}\end{array}\right.$，
∴△CDM≌△CBN，
∴DM=BN；

（2）解：∵四边形MNBE是平行四边形，
∴ME∥AB，
∴$\frac{DM}{AM}=\frac{DE}{EB}$，
∵DC∥AB
∴△CDE∽△NBE，
∴$\frac{DE}{BE}$=$\frac{CD}{BN}$，
∴$\frac{DM}{AM}=\frac{CD}{NB}$，
∵DM=NB，
∴$\frac{DM}{MA}$=$\frac{DC}{DM}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．