Question

已知矩形ABCD，BE平分∠ABC交AD于E，F是AB边上一点，AF=DE，连接CE、EF、CF，
（1）求证：AE=AB
（2）试判断△CEF的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵矩形ABCD，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB．

（2）解：△CEF是等腰直角三角形，
理由是：∵AB=CD，AB=AE，
∴AE=CD，
∵矩形ABCD，
∴∠A=∠D=90°，
在△AEF和△DCE中
，
∴△AEF≌△DCE，
∴EF=EC，∠AEF=∠DCE，
∵∠D=90°，
∴∠DCE+∠DEC=90°，
∴∠DEC+∠AEF=90°，
∴∠FEC=180°-90°=90°，
∵FE=CE，
∴△CEF是等腰直角三角形．
分析：（1）根据矩形的性质推出AD∥BC，根据平行线性质角平分线性质推出∠AEB=∠ABE即可；
（2）根据SAS证△AEF和△DCE全等，推出FE=CE，∠AEF=∠DCE，求出∠FEC=90°即可．
点评：本题综合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的判定，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点，题型较好，难度不大，主要考查学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力．