Question

20．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．
（1）若点E为$\widehat{ADB}$的中点．连接OE、CE，求证：CE平分∠OCD；
（2）若⊙O的半径为4，CD=4$\sqrt{3}$，在⊙O上到直线AC的距离为3的点有多少个？试说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性质得出∠E=∠OCE，再利用平行线的判定得出OE∥CD即可证明CE平分∠OCD；
（2）首先求得AC所对的两个弧上，各自到AC的最远的点，与弦AC之间的距离，根据与3的大小关系即可作出判断．

解答 （1）证明：∵点E是$\widehat{ADB}$的中点，
∴OE⊥AB，
又∵CD⊥AB，
∴OE∥CD，
∴∠ECD=∠OEC，
又∵∠OEC=∠OCE，
∴∠OCE=∠DCE，
∴CE平分∠OCD；

（2）解：圆周上到直线AC的距离为3的点有2个；
∵圆弧$\widehat{AC}$上的点到直线AC的最大距离为2，
∴$\widehat{ADC}$上的点到直线AC的最大距离为6，
∵2＜3＜6，
根据圆的轴对称性，
∴$\widehat{ADC}$到直线AC距离为3的点有2个．

点评 本题考查了圆周角定理，垂径定理，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握各定理是解题的关键．