Question

14．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）求证：△BCD∽△BEC；
（3）若tan∠CED=$\frac{1}{2}$，⊙O的半径为3，求OA的长．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图，根据等腰三角形的性质得OC⊥AB，然后根据切线的判定定理即可得到直线AB是⊙O的切线；
（2）根据圆周角定理求得∠ECD=90°，进而求得∠BCD=∠E，根据∠CBD=∠EBC，即可证明△BCD∽△BEC．
（3）设BD的长是x，因为△BCD∽△BEC，根据相似三角形的对应边成比例，可求出x的值，然后根据OB=OA=x+3求解即可．

解答 （1）证明：如图，连接OC．
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB．
∴AB是⊙O的切线．

（2）证明：∵ED是直径，
∴∠ECD=90°．
∴∠E+∠EDC=90°．
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E．
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC．

（3）解：∵$tan∠CED=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CD}{EC}=\frac{1}{2}$．
∵△BCD∽△BEC，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{CD}{EC}=\frac{1}{2}$．
设BD=x，则BC=2x．
又∵BC²=BD•BE，（2x）²=x（x+6）．
解得x₁=0，x₂=2．
∵BD=x＞0，
∴BD=2，
∴OA=OB=BD+OD=2+3=5．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角函数以及切线的判定和性质，关键是熟记这些性质定理和判定定理．