Question

10．如图，C为半圆弧O的中点，点P为直径BA延长线上一点，过点P作半圆的切线PD，D为切点，∠DPB的平分线分别交AC，BC于点E，F； 证明：∠PDA=∠CDF．

Answer 1

分析 连接OD，DE，由PD是⊙O的切线，得到OD⊥PD，根据垂径定理得到OC⊥OP，于是得到∠DAC=∠DPE，∠DPF=∠DBF，推出P，A，E，D，四点共圆，P，B，F，D四点共圆，根据圆周角定理得到∠DEC=∠DPA，∠DFC=∠DPA，等量代换得到∠DEC=∠DFC，推出D，E，F，C四点共圆，根据圆周角定理即刻得到结论．

解答 证明：连接OD，DE，
∵PD是⊙O的切线，
∴OD⊥PD，
∵C为半圆弧O的中点，
∴OC⊥OP，
∴∠DPB+∠DOP=∠DOP+∠DOC，
∴∠DPB=∠DOC=2∠DAC=2∠DBC=2∠DPF，
即∠DAC=∠DPE，∠DPF=∠DBF，
∴P，A，E，D，四点共圆，P，B，F，D四点共圆，
∴∠DEC=∠DPA，∠DFC=∠DPA，
∴∠DEC=∠DFC，
∴D，E，F，C四点共圆，
∴∠CDF=∠CEF=∠PEA=∠PDA．
即：∠PDA=∠CDF．

点评 本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，四点共圆，正确的作出辅助线是解题的关键．