Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）若∠1=30°，AB=4，求弦CD的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴=，∴∠1=∠2；

（2）解：连接OC．
∵∠1=30°，
∴∠COE=60°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；
又∵AB=4，
∴OC=2；
∵CD⊥AB于点E，
∴CE=DE（垂径定理），
sin∠COE=，
∴CE=2×，
∴CD=2CE=2．
分析：（1）由圆的圆周角、弦、弧的关系证明∠1=∠2；
（2）连接OC．根据圆周角定理求得直角三角形CEO的一锐角∠COE=2∠1=60°；然后由垂径定理求得CE=DE；最后在直角三角形CEO中，利用三角函数来求CD=2DE．
点评：本题考查了解直角三角形、垂径定理．解答（2）时，通过作辅助线OC构建直角△OEC，在直角△OEC中，利用三角函数值求得相关线段的长度．