Question

10．如图，四边形ABDM中，AB=BD，AB⊥BD，∠AMD=60°，以AB为边作等边△ABC，∠ABD的平分线BE交CD于点E，连接ME．
（1）求∠BEC的度数；
（2）连接EA，求证：EC=ED+EB；
（3）求∠AME的度数．

Answer 1

分析 （1）根据△ABC是等边三角形，得到AB=BC，∠ABC=60°，由AB⊥BD，得到BC=BD，∠DBC=∠ABD+∠ABC=150°，根据等腰三角形的性质得到∠BDC=∠BCD=$\frac{1}{2}$（180°-∠DBC）=15°，又BE平分∠ABD，得到∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABD=45°，利用外角的性质得到∠BEC=∠BDE+∠DBE=15°+45°=60°．
（2）在EC上截取EN=EB，由∠BEC=60°，所以△EBN是等边△，得到BE=BN，证明△BDE≌△BCN，得到DE=CN．所以EC=EN+NC=ED+EB．
（3）连接AE，延长MA至F，使FA=DM，连接EF．先证明△BDE≌△BAE，得到DE=AE，∠BED=∠BEA=180°-∠BEC=120°，再证明△EDM≌△EAF（SAS），得到EM=EF，∠DEM=∠AEF，所以∠DEM+∠AEM=∠AEF+∠AEM，即∠DEA=∠MEF=120°．在△MEF中，∠MEF=120°，EM=EF，所以∠F=∠EMF=30°，即∠AME=30°．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵AB=BD，∠ABD=90°，
∴BC=BD，∠DBC=∠ABD+∠ABC=150°，
∴∠BDC=∠BCD=$\frac{1}{2}$（180°-∠DBC）=15°，
又∵BE平分∠ABD，
∴∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABD=45°，
∴∠BEC=∠BDE+∠DBE=15°+45°=60°．
（2）如图1，在EC上截取EN=EB，

∵∠BEC=60°，
∴△EBN是等边△，
∴BE=BN，
∠CBN=∠DBC-∠DBE-∠EBN=150°-45°-60°=45°=∠DBE，
在△BDE和△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=CB}\\{∠DBE=∠CBN}\\{BE=BN}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BCN，
∴DE=CN．
∴EC=EN+NC=ED+EB．
（3）如图2，连接AE，延长MA至F，使FA=DM，连接EF．

在△BDE与△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BA}\\{∠DBE=∠ABE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BAE，
∴DE=AE，∠BED=∠BEA=180°-∠BEC=120°，
∴∠AED=360°-∠BED-∠BEA=120°．
∴∠AED+∠AMD=120°+60°=180°，
∴∠EAM+∠EDM=180°，
又∠EAM+∠EAF=180°，
∴∠EDM=∠EAF．
在△EDM与△EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=AF}\\{∠EDM=∠EAF}\\{DE=AE}\end{array}\right.$，
∴△EDM≌△EAF（SAS），
∴EM=EF，∠DEM=∠AEF，
∴∠DEM+∠AEM=∠AEF+∠AEM，即∠DEA=∠MEF=120°．
在△MEF中，
∵∠MEF=120°，EM=EF，
∴∠F=∠EMF=30°．
即∠AME=30°．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，解决本题的关键是作出辅助线，构建三角形全等．