Question

15．如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD=BD，C=70°．现给出以下四个结论：①∠A=45°；②AC=AB；③AE=BE；④CE•AB=2BD²．其中正确结论的序号是②④．

Answer 1

分析 连结AD，如图，根据圆周角定理得∠ADB=90°，加上CD=BD，则可判断△ABC为等腰三角形，于是可对（2）进行判断；由于∠ABC=∠C=70°，则∠BAC=40°，则可对（1）进行判断，加上∠AEB=90°，所以∠ABE=50°，则可对（3）进行判断；连结ED，如图，证明△CED∽△CBA，利用相似比可对（4）进行判断．

解答 解：连结AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
而CD=BD，
∴△ABC为等腰三角形，
∴AC=AB，所以（2）正确．
∠ABC=∠C=70°，
∴∠BAC=180°-2×70°=40°，所以（1）错误，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=50°，
∴AE＞BE，所以（3）错误；
连结ED，如图，
∵∠CED=∠ABC，∠ECD=∠BCA，
∴△CED∽△CBA，
∴$\frac{CE}{CB}$=$\frac{CD}{CA}$，
即CE•CA=CD•CB，
∵CA=AB，BD=CD，
∴CE•AB=2BD²，所以（4）正确．
故答案为（2）、（4）．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质．