Question

7．如图，点B（0，b），A（a，0）分别在y轴，x轴正半轴上，满足$\sqrt{a-b}+（ab-16）$²=0．
（1）填空：a=4，b=4，∠OAB的度数是45°；
（2）如图1，已知H（0，1），在第一象限内存在点G，HG交AB于E，使BE为△BHG的中线，且S_△BHG=3，求点G的坐标；
（3）如图2，C、D是y轴上两点，且BC=OD，连接AD，过点O作MN⊥AD于点N，交直线AB于点M，连接CM，求∠ADO+∠BCM的值．

Answer 1

分析 （1）可以非负数的性质得出a、b的方程组，求得a、b即可，进一步得出，∠OAB的度数；
（2）求得直线AB的解析式，表示出E点坐标，利用△BHG的面积得出G点的横坐标，进一步利用中点坐标公式求得点E坐标，得出点G坐标即可；
（3）过点B作BK⊥OC交MN于点K，然后证明△OBK≌△OAD、△MKB≌△MCB，从而可证明∠ADO+∠BCM=180°

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-b}+（ab-16）$²=0
∴a-b=0，ab-16=0，
解得：a=4，b=4或a=-4．b=-4，
∵在y轴，x轴正半轴上，
∴a=4，b=4；
∴∠OAB=45°；
（2）如图，

设直线AB解析式为y=kx+b，
代入（0，4），（4，0）解得y=-x+4，
则点E坐标为（x，-x+4），
∵S_△BHG=3，BH=3，
∴G点横坐标为2，
∵E为BH的中点，
∴x=$\frac{0+2}{2}$=1，-x+4=3，
∴3=$\frac{1+y}{2}$，解得y=5，
∴点G的坐标为（2，5）；
（3）过点B作BK⊥OC交MN于点K．

∵MN⊥AD，
∴∠DON+∠NOA=90°．
∴∠KOB+∠NOA=90°．
∵∠NOA+∠NAO=90°，
∴∠KOB=∠DAO．
在△OBK和△OAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠KBO=∠DOA}\\{OB=OA}\\{∠KOB=∠OAD}\end{array}\right.$，
∴△OBK≌△OAD．
∴KB=OD，∠ODA=∠BKO．
∵BC=OD．
∴KB=BC．
∵∠OB=OA，∠BOA=90°，
∴∠OBA=45°．
∴∠KBM=∠CBM=45°．
在△MKB和△MCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{MB=MB}\\{∠KBM=∠DBM}\\{KB=DB}\end{array}\right.$，
∴△MKB≌△MCB．
∴∠MKB=∠MCB．
∵∠OKB+∠MKB=180°，
∴∠ADO+∠BCM=180°．

点评 此题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定及性质的运用，中点坐标公式，三角形的面积，解答时证明三角形全等是关键．