Question

16．如图，△ABC中，以AC为直径的⊙O与边BC、BA交于点D、G，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，ED与AC的延长线交于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若BE=1，CF=2，求⊙O半径．

Answer 1

分析 （1）连接OD，证明OD是△ABC的中位线，得出OD∥AB，OD=$\frac{1}{2}$AB，由已知条件得出DE⊥OD，即可得出直线EF是⊙O的切线；
（2）连接CG，由圆周角定理得出∠AGC=90°，证出CG∥DE，得出比例式GE：BE=CD：BD，AC：AG=CF：GE，得出GE=BE=1，AC：AG=2：1，得出AC=2AG，证出∠ACG=30°，证明△ABC是等边三角形，得出AG=BG=2，得出OA=AG=2即可．

解答 解：（1）直线EF是⊙O的切线；理由如下：
连接OD，如图1所示：
∵D是BC的中点，OA=OC，
∴OD是△ABC的中位线，BD=CD，
∴OD∥AB，OD=$\frac{1}{2}$AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∴直线EF是⊙O的切线；
（2）连接CG，如图2所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AGC=90°，
即CG⊥AB，
∵DE⊥AB，
∴CG∥DE，
∴GE：BE=CD：BD，AC：AG=CF：GE，
∵BD=CD，
∴GE=BE=1，
∴AC：AG=2：1，
∴AC=2AG，
∴∠ACG=30°，
∴∠A=60°，
又∵OD=$\frac{1}{2}$AC，
∴AC=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴AG=BG=2，
∴OA=AG=2，
即⊙O半径为2．

点评 本题考查了切线的判定方法、三角形中位线定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，需要通过作辅助线才能得出结果．