Question

如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．

（1）若OA=10，求反比例函数解析式；
（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；
（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）y=（x＞0）（2）OA=  C（5，）（3）P₁（，），P₂（﹣，），P₃（，），P₄（﹣，）．

（1）过点A作AH⊥OB于H，
∵sin∠AOB=，OA=10，
∴AH=8，OH=6，
∴A点坐标为（6，8），根据题意得：
8=，可得：k=48，
∴反比例函数解析式：y=（x＞0）；
（2）设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，
∵sin∠AOB=，
∴AH=a，OH=a，
∴S_△AOH=•aa=a²，
∵S_△AOF=12，
∴S_{平行四边形AOBC}=24，
∵F为BC的中点，
∴S_△OBF=6，
∵BF=a，∠FBM=∠AOB，
∴FM=a，BM=a，
∴S_△BMF=BM•FM=a•a=a²，
∴S_△FOM=S_△OBF+S_△BMF=6+a²，
∵点A，F都在y=的图象上，
∴S_△AOH=k，
∴a²=6+a²，
∴a=，
∴OA=，
∴AH=，OH=2，
∵S_{平行四边形AOBC}=OB•AH=24，
∴OB=AC=3，
∴C（5，）；
（3）存在三种情况：
当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，分别为：P₁（，），P₂（﹣，），
当∠PAO=90°时，P₃（，），
当∠POA=90°时，P₄（﹣，）．