Question

如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，交双曲线y=于点D，过D作两坐标轴的垂线DC、DE，连接OD．

（1）求证：AD平分∠CDE；
（2）对任意的实数b（b≠0），求证AD·BD为定值；
（3）是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由y=x＋b得A（b，0），B（0，－b），即可得到∠DAC=∠OAB="45" º，再结合DC⊥x轴，DE⊥y轴可证得∠ACD=∠CDE=90º，从而可以证得结论；（2）由（1）知△ACD和△BDE均为等腰直角三角形，即可证得AD=CD，BD=DE，则可得AD·BD=2CD·DE=2×2=4为定值；（3）y=x－1

试题分析：（1）由y=x＋b得A（b，0），B（0，－b），即可得到∠DAC=∠OAB="45" º，再结合DC⊥x轴，DE⊥y轴可证得∠ACD=∠CDE=90º，从而可以证得结论；
（2）由（1）知△ACD和△BDE均为等腰直角三角形，即可证得AD=CD，BD=DE，则可得AD·BD=2CD·DE=2×2=4为定值；
（3）若OBCD为平行四边形，则AO=AC，OB=CD，由（1）知AO=BO，AC=CD，设OB="a" (a＞0)，则可得B（0，－a），D（2a，a），由D在y=上即可求得a的值，从而可以求得结果.
解：（1）由y=x＋b得A（b，0），B（0，－b）. 
∴∠DAC=∠OAB="45" º
∵DC⊥x轴，DE⊥y轴  
∴∠ACD=∠CDE=90º
∴∠ADC=45º ，即AD平分∠CDE；
（2）由（1）知△ACD和△BDE均为等腰直角三角形.
∴AD=CD，BD=DE
∴AD·BD=2CD·DE=2×2=4为定值；
（3）存在直线AB，使得OBCD为平行四边形.
若OBCD为平行四边形，则AO=AC，OB=CD.
由（1）知AO=BO，AC=CD
设OB="a" (a＞0)，
∴B（0，－a），D（2a，a）
∵D在y=上，
∴2a·a=2，解得a=±1(负数舍去) 
∴B（0，－1），D（2，1）.
又B在y=x＋b上，
∴b=－1
即存在直线AB：y=x－1，使得四边形OBCD为平行四边形.
点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.