Question

如图(1)，Rt△中，∠=°，⊥，垂足为．平分∠，

交于点，交于点

⑴求证：

⑵将图①中的△沿向右平移到△的位置，使点落在边上，其它条件不变，如图②所示．试猜想：与有怎样的数量关系?请证明你的结论．

Answer 1

⑴  证明：∵AF平分∠CAB，

∴∠CAF=∠EAD，    ………  1分

∵∠ACB=90°，

∴∠CAF+∠CFA=90°，

∵CD⊥AB于D，

∴∠EAD+AED=90°，

∴∠CFA=∠AED，    ………  4分

∵∠AED=∠CEF，

∴∠CFA=∠CEF，

∴CE=CF；           ………  6分

⑵  解： BE′=CF．                               ………  7分

理由如下：   过点E作EG⊥AC于G，

又∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，

∴ED=EG．

由平移的性质可知：D′E′=DE，

∴D′E′=GE，                  ………  9分

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠DCB=90°

∵CD⊥AB于D，

∴∠B+∠DCB=90°，

∴∠ACD=∠B，

在Rt△CEG与Rt△BE′D′中，

   

∴△CEG≌△BE′D′，        

∴CE=BE′，                  ………  11分

由⑴可知CE=CF，

∴BE′=CF．                  ………  12分