Question

8．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，以PB为边作等边△PBM，则线段AM的长最大值为5．

Answer 1

分析 分情况讨论，当点P在第一象限内时，将△APM绕着点P顺时针旋转60°得△DPB，连接AD，根据旋转的性质求得AM的最大值为5，当点P在第四象限内时，同理可得线段AM的长最大值为5．

解答 解：如图，当点P在第一象限内时，将△APM绕着点P顺时针旋转60°得△DPB，连接AD，则
DP=AP，∠APD=60°，AM=BD，
∴△ADP是等边三角形，
∴由BD≤AD+AB可得，当D在BA的延长线上时，BD最长，
此时，点D与点O重合，
又∵点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），
∴AB=5-2=3，AD=AO=2，
∴BD=AD+AB=2=3=5=AM，
即线段AM的长最大值为5；
当点P在第四象限内时，同理可得线段AM的长最大值为5．
故答案为：5．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质，最大值问题以及旋转的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，解题时注意分类思想的运用．