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    操作实验：

    如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称．

    所以△ABD≌△ACD，所以∠B=∠C．

    归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等．

    根据上述内容，回答下列问题：

    思考验证：

    如图（4），在△ABC中，AB=AC．

    试说明∠B=∠C的理由．（添加辅助线说明）

    探究应用：

    如图（5），CB⊥AB，垂足为B，DA⊥AB，垂足为A．E为AB的中点，AB=BC，CE⊥BD于F，连接DC、DE、AC，AC与 DE交于点O．

    （1）BE与AD是否相等？为什么？

    （2）小明认为AC垂直平分线段DE，你认为对吗？说说你的理由。

    （3）∠DBC与∠DCB相等吗？试说明理由．

     

    【答案】

    思考验证：理由见解析，探究应用（1）相等，理由见解析（2）对，理由见解析（3）相等，理由见解析

    【解析】思考验证：说明：过A点作AD⊥BC于D

    ∴∠ADB＝∠ADC＝90°

     在Rt△ABD和Rt△ACD中，

     

    ∴△ABD≌△ACD（HL）       

    ∴∠B＝∠C 

    注意：本小题也可以作其它辅助线，  …………  3分

    探究应用（令∠ABD＝∠1，∠DBC＝∠2）

    （1）说明：∵CB⊥AB

               ∴∠CBA＝90°

                ∴∠1+∠2＝90°

                ∵DA⊥AB

                ∴∠DAB＝90°

                ∴∠ADB+∠1＝90°

                ∴∠ADB＝∠2

             在△ADB和△BEC中

    ∴△DAB≌△EBC（ASA）

    ∴DA＝BE                                …………6分

    （2）∵E是AB中点

    ∴AE＝BE

    ∵AD＝BE

    ∴AE＝AD

    在△ABC中，

    ∵AB＝BC

    ∴∠BAC＝∠BCA

    ∵AD∥BC

    ∴∠DAC＝∠BCA

    ∴∠BAC＝∠DAC

     在△ADO和△AEO中，

     

    ∴△ADO≌△AEO（SAS）

    ∴OD＝OE  ∠AOD＝∠AOE=90º

    ∴AC垂直平分DE．                      …………9分 

    (3)              .........10分

    ∴CD=CE

    ∵△DAB≌△EBC

    ∴DB=CE

    ∴CD=BD

    ∴∠DBC=∠DCB                    …………12分

    思考验证：作等腰三角形底边上的高，构造全等三角形．

    （1）BE与AD在两个直角三角形中，证这两个直角三角形全等即可；

    （2）可证点A，C在线段DE的垂直平分线上．注意结合（1）的结论，利用全等证明即可；

    （3）由第二问的垂直平分线的性质，得到CD=CE，由第一问的全等得到DB=CE，那么CD=BD，所以∠DBC=∠DCB．

     

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    科目：初中数学 来源：2011-2012学年江苏江都花荡中学七年级下学期期末考试数学试卷（带解析） 题型：解答题

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    试说明∠B=∠C的理由．（添加辅助线说明）
    探究应用：
    如图（5），CB⊥AB，垂足为B，DA⊥AB，垂足为A．E为AB的中点，AB=BC，CE⊥BD于F，连接DC、DE、AC，AC与 DE交于点O．

    （1）BE与AD是否相等？为什么？
    （2）小明认为AC垂直平分线段DE，你认为对吗？说说你的理由。
    （3）∠DBC与∠DCB相等吗？试说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

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    思考验证：如图（4），在△ABC中，AB=AC．试说明∠B=∠C的理由；

    探究应用：如图（5），CB⊥AB，垂足为A，DA⊥AB，垂足为B．E为AB的中点，AB=BC，CE⊥BD．
    （1）BE与AD是否相等，为什么？
    （2）小明认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；
    （3）∠DBC与∠DCB相等吗试？说明理由．

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    科目：初中数学 来源：江苏省期末题 题型：解答题

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    探究应用：
    （2）如图（5），CB⊥AB，垂足为A，DA⊥AB，垂足为B．E为AB的中点，AB=BC，CE⊥BD．
    （i）BE与AD是否相等，为什么？
    （ii）小明认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；
    （iii）∠DBC与∠DCB相等吗试？说明理由．

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