Question

已知关于x的方程x²+2（a-1）x+a²-7a-4=0的两根为x₁、x₂，且满足x₁x₂-3x₁-3x₂+4=0．求a的值．

Answer 1

解：根据题意得x₁+x₂=-2（a-1），x₁•x₂=a²-7a-4，
∵x₁x₂-3x₁-3x₂+4=0，即x₁x₂-3（x₁+x₂）+4=0，
∴a²-7a-4+6（a-1）+4=0，
整理得a²-a-6=0，解得a₁=3，a₂=-2，
当a=3时，原方程变形为x²+4x-16=0，△＞0，方程有两个不等的实数根；
当a=-2时，原方程变形为x²-6x+14=0，△＜0，方程没有实数根；
∴a的值为3．
分析：先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-2（a-1），x₁•x₂=a²-7a-4，再把它们代入已知条件后整理得到得a²-a-6=0，解得a₁=3，a₂=-2，然后分别把a的值代入原方程，根据判别式的意义确定a的值．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程根的判别式．