Question

某公司销售一种进价为20元/个的计算机，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：

价格x（元/个）	…	30	40	50	60	…
销售量y（万个）	…	5	4	3	2	…

同时，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元．
（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．
（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万个）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？
（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？

Answer 1

解：（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，
设解析式为：y=ax+b，
则，
解得：，
故函数解析式为：y=-x+8；

（2）根据题意得出：
z=（x-20）y-40
=（x-20）（-x+8）-40
=-x²+10x-200，
=-（x²-100x）-200
=-[（x-50）²-2500]-200
=-（x-50）²+50，
故销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元．

（3）当公司要求净得利润为40万元时，即-（x-50）²+50=40，解得：x₁=40，x₂=60．

如上图，通过观察函数y=-（x-50）²+50的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60．
而y与x的函数关系式为：y=-x+8，y随x的增大而减少，
因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个．
分析：（1）根据数据得出y与x是一次函数关系，进而利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）根据z=（x-20）y-40得出z与x的函数关系式，求出即可；
（3）首先求出40=-（x-50）²+50时x的值，进而得出x（元/个）的取值范围．
点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式、二次函数最值问题等知识，根据已知得出y与x的函数关系是解题关键．