Question

（2005•兰州）如图，已知正三角形的边长2a
（1）求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；
（2）根据计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积？
（3）将条件中的“正三角形”改为“正方形”、“正六边形”你能得出怎样的结论；
（4）已知正n边形的边长为2a，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．

Answer 1

【答案】分析：正多边形的边心距，半径，边长的一半正好构成直角三角形，根据勾股定理就可以求解．
解答：解：（1）设正三角形ABC的中心为O，BC切⊙O于点D连接OB、OD，则OD⊥BC，BD=DC=a；
则S圆环=π•OB²-π•OD²=π?OB²-OD²?=BD²•π=πa²．
（2）只需测出弦BC的长（或AC，AB）．
（3）结果一样，即S圆环=πa²．
（4）S圆环=πa²．
点评：正多边形的计算，一般是过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径，外接圆半径和高，中心角之间的计转化为解直角三角形．本题是巧用了勾股定理．