Question

15．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90°，OC，OB的长分别是一元二次方程x²-6x+8=0的两个根（OC＜OB）．
（1）求点A的坐标；
（2）D为OB的中点，DE垂直于x轴交BC于点E，点P在直线DE上，求PA+PC的值最小时的点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在直线DE上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）解一元二次方程x²-6x+8=0，得到方程的两个根，依此得到C、B两点的坐标，根据待定系数法可求直线BC的解析式，再根据互相垂直的两条直线的斜率之积是-1，根据待定系数法可求直线AC的解析式，令直线AC的解析式y=0，解得横坐标，从而得到点A的坐标；
（2）找到C关于直线DE的对称点C′的坐标，根据待定系数法得到直线AC′的解析式，进一步得到PA+PC的值最小时的点P的坐标；
（3）分两种情况：①点M在直线DE左边；②点M在直线DE右边；进行讨论即可求解．

解答 解：（1）x²-6x+8=0，
解得x₁=2，x₂=4，
∵OC，OB的长分别是一元二次方程x²-6x+8=0的两个根（OC＜OB）．
∴C（0，2），B（4，0），
设直线BC的解析式为y=k₁x+b₁，则$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=2}\\{4{k}_{1}+{b}_{1}=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-0.5}\\{{b}_{1}=2}\end{array}\right.$．
故直线BC的解析式为y=-0.5x+2，
∵∠ACB=90°，
∴设直线AC的解析式为y=2x+b₂，则0+b₂=2，
解得b₂=2，
故直线AC的解析式为y=2x+2，
当y=0时，0=2x+2，解得x=-1，
故点A的坐标为（-1，0）；
（2）如图，
∵D为OB的中点，
∴D点坐标为（0，2），
∴直线DE的解析式为x=2，
∴C关于直线DE的对称点C′的坐标为（4，2），
设直线AC′的解析式为y=k₃x+b₃，则$\left\{\begin{array}{l}{-{k}_{3}+{b}_{3}=0}\\{4{k}_{3}+{b}_{3}=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{3}=0.4}\\{{b}_{3}=0.4}\end{array}\right.$．
故直线AC′的解析式为y=0.4x+0.4，
当x=2时，y=0.8+0.4=1.2，
故PA+PC的值最小时的点P的坐标为（2，1.2）；
（3）①点M在直线DE左边，点M的坐标为（1，0）或（-3，0）；
②点M在直线DE右边，点M的坐标为（3，0）．
故以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形时点M的坐标为（1，0）或（-3，0）或（3，0）．

点评 本题考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：解一元二次方程，待定系数法求直线的解析式，互相垂直的两条直线的斜率之积是-1，轴对称图形最短路线问题，平行四边形的性质，以及分类思想的应用，综合性比较强，难度偏大．