Question

2．已知关于x的方程x²+2kx+k²+k+3=0的两根分别是x₁、x₂，则（x₁-1）²+（x₂-1）²的最小值是8．

Answer 1

分析 利用根与系数的关系得x₁+x₂=-2k，x₁•x₂=k²+k+3，k≤-3，再将（x₁-1）²+（x₂-1）²化简为（x₁+x₂）²-2x₁x₂-2（x₁+x₂），代入即可求解．

解答 解：∵关于x的方程x²+2kx+k²+k+3=0的两根分别是x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-2k，x₁•x₂=k²+k+3，
∵△=4k²-4（k²+k+3）=-4k-12≥0，解得k≤-3，
∴（x₁-1）²+（x₂-1）²
=x₁²-2x₁+1+x₂²-2x₂+1
=（x₁+x₂）²-2x₁x₂-2（x₁+x₂）+2
=（-2k）²-2（k²+k+3）-2（-2k）+2
=2k²+2k-4
=2（k+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{2}$≥8，
故（x₁-1）²+（x₂-1）²的最小值是8．
故答案为：8．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．同时考查了配方法的应用．