Question

如图，双曲线y=

3

x

(x＞0)经过四边形OABC的顶点A、C（点A的纵坐标是点C的纵坐标的2倍），∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴，将△ABC沿AC翻折后得到△AB′C，B′点落在OA上，则四边形OABC的面积是

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：作AE⊥x轴于E，BC的延长线交x轴于F，易得四边形AEFB为矩形，设C点坐标为（a，

3

a

），由于点A的纵坐标是点C的纵坐标的2倍，则B点坐标为（a，

6

a

），再利用反比例函数图象上点的坐标特征得到A点坐标为（

a

2

，

6

a

），然后计算出S_△ABC=

3

4

，再根据折叠的性质得CB=CB′，∠AB′C=∠B=90°，S_△ACB′=S_△AB′C=

3

4

，而OC平分OA与x轴正半轴的夹角，易正得△OCB′≌△OCF，所以S_△OCB′=S_△OCF=

1

2

×3，于是可得到四边形OABC的面积=3．

解答：解：作AE⊥x轴于E，BC的延长线交x轴于F，如图，
∵∠ABC=90°，AB∥x轴，
∴四边形AEFB为矩形，
设C点坐标为（a，

3

a

），
∵点A的纵坐标是点C的纵坐标的2倍，
∴AE=2CF，
∴B点坐标为（a，

6

a

），
把y=

6

a

代入y=

3

x

得x=

a

2

，
∴A点坐标为（

a

2

，

6

a

），
∴S_△ABC=

1

2

（a-

a

2

）•

3

a

=

3

4

，
∵△ABC沿AC翻折后得到△AB′C，
∴CB=CB′，∠AB′C=∠B=90°，S_△ACB′=S_△AB′C=

3

4

而OC平分OA与x轴正半轴的夹角，
∴△OCB′≌△OCF，
∴S_△OCB′=S_△OCF=

1

2

×3，
∴四边形OABC的面积=

3

4

+

3

4

+

3

2

=3．
故答案为3．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的比例系数的几何意义和折叠的性质；会利用坐标表示线段和计算三角形面积．