Question

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC．
（1）若AC=BC，∠B：∠C=2：1，试写出图中的所有等腰三角形，并给予证明．
（2）若AB+BD=AC，求∠B：∠C的比值．

Answer 1

解：（1）等腰三角形有3个：△ABC，△ABD，△ADC，
证明：∵AC=BC
∴△ABC是等腰三角形
∴∠B=∠BAC
∵∠B：∠C=2：1
∠B+∠BAC+∠C=180°
∴∠B=∠BAC=72°，∠C=36°
∵∠BAD=∠DAC=∠BAC=36°
∴∠B=∠ADB=72°，
∴△ABD和△ADC是等腰三角形

（2）方法1：在AC上截取AE=AB，连接DE
又∠BAD=∠DAE，AD=AD
∴△ABD≌△ADE
∴∠AED=∠B，BD=DE
∵AB+BD=AC
∴BD=EC∴DE=EC
∴∠EDC=∠C
∴∠B=∠AED=∠EDC+∠C=2∠C
即∠B：∠C=2：1

方法2：延长AB到E，使AE=AC连接DE
证明△ADE≌△ADC
再类似证明得到∠B=2∠AED=2∠C
利用“截长法”或“补短法”添加辅助线，将AC-AB或AB+BD转化成一条线段
分析：（1）利用AC=BC可直接得出△ABC是等腰三角形，再利用三角形内角和定理求出∠B=∠ADB，∠DAC=∠C，即可得出△ABD和△ADC是等腰三角形．
（2）此题有2种方法，方法1：在AC上截取AE=AB，连接DE，求证△ABD≌△ADE，然后得到∠B=∠AED=∠EDC+∠C=2∠C即可得出答案；
方法2：延长AB到E，使AE=AC连接DE，利用“截长法”或“补短法”添加辅助线，将AC-AB或AB+BD转化成一条线段即可．
点评：此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的（2）有两种方法，不管学生用哪种方法解答，只要合理，就积极鼓励表扬，激发他们的学习兴趣．