Question

已知：在△ABC中，∠CAB=2α，且，AP平分∠CAB。
（1）如下图1，若，∠ABC=32°，且AP交BC于点P，试探究线段AB，AC与PB之间的数量关系，并对你的结论加以证明；    
答：线段AB，AC与PB之间的数量关系为：（    ）；
（2）如下图2，若∠ABC=，点P在△ABC的内部，且使∠CBP=30°，求∠APC的度数（用含α的代数式表示）

Answer 1

解：（1） AB－AC= PB；  
证明：在AB上截取AD，使AD=AC。如下图：

∵AP平分∠CAB，
∴∠1=∠2。
在△ACP和△ADP中， 
               
∴△ACP≌△ADP
∴∠C =∠3。
∵△ABC中，∠CAB==2×21°=42° ，∠ABC=32 °，
∴∠C =180 °－∠CAB－∠ABC =180 °－42 °－32 ° = 106 °
∴∠3 =106 °
∴∠4 =180 °－∠3=180 °－106 °=74 °，  
∠5 =∠3－∠ABC=106 °－32 °=74 °。
∴∠4 =∠5，
∴PB=DB，
∴AB－AC= AB－AD=DB=PB；
（2）延长AC至M，使AM=AB，连接PM，BM。如下图：

  ∵AP平分∠CAB，∠CAB=α，
∴∠1=∠2=α=α，
在△AMP和△ABP中，
            
∴△AMP≌△ABP，
∴PM=PB，∠3 =∠4，
∵∠ABC=60°－α，∠CBP=30°，
∴∠4=(60°－α)－30° =30°－2α，
∴∠3 =∠4 =30°－α，
∵△AMB中，AM=AB，
∴∠AMB=∠ABM =(180°－∠MAB)÷2 =(180°－α)÷2 =90°－α，
∴∠5=∠AMB－∠3= (90°－α)－(30°－α)=60°，
∴△PMB为等边三角形。
∵∠6=∠ABM－∠ABC = (90°－α)－(60°－α)=30°，
∴∠6=∠CBP，
∴BC平分∠PBM，
∴BC垂直平分PM，
∴CP=CM，
∴∠7 =∠3 = 30°－α，
∴∠ACP=∠7＋∠3=(30°－2α)＋(30°－α)=60°－2α，
∴△ACP中，∠APC=180°－∠1－∠ACP=180°－α－(60°－2α)=120°＋α。